שדות הגדרת השדה: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות אחת נקראת חיבור ותסומן ב + האחרת נקראת כפל ותסומן ב * כך שתתקיימנה הדרישות הבאות: a, b F a b. סגירות לחיבור: F a F a 0 0 a a a, b, c F a ( b c) ( a b) אסוציאטיביות בחיבור: c "אדיש חיבורי": קיים בF איבר ניטראלי שיסומן ב 0 a ( a) 0 ומקיים: a ב שיסומן קיים איבר נגדי בF a נגדי בחיבור: F a, קומוטטיביות בחיבור: b F a b b a.4.5 a, b F a* b 6. סגירות לכפל: F.7 אסוציאטיביות בכפל: c) a, b, cf ( a* b)* c a*( b* a F a * * a a a * a a "איבר יחידה": קיים בF איבר יחידה שיסומן ב a קיים איבר הופכי בF שיסומן ב 0 הופכי בכפל: F קומוטטיביות בכפל: ומקיים a, bf a* b b* a.8.9 0 a, b, cf a*( b c) a* b a*. פילוג בכפל וחיבור: c, אינם שדות ביחס ל + * הרגילות. *, כן שדות ביחס ל + * הרגילות. * a* b 0 יהא F שדה. האיבר הניטראלי הוא יחיד a F a *0 0 יהא F שדה ו- אז או- 0=a או 0=b.,a כך ש: b F חשבון מודולו : (mod ) ) [ a(mod ) b(mod )] ( a b)(mod a(mod ) סימון: b a b
הקבוצה :Z Z * Z הוא שדה אם ורק אם הוא ראשוני. כאשר לא ראשוני מקיים את כל תכונות השדה מלבד הופכי בכפל. 2
פולינומים p( x) a x a x a x a 0 הגדרה: פולינום (x )p מעל לשדה K הוא כאשר a0, a,..., a הם מקדמי הפולינום. K המשפט היסודי של האלגברה: לפולינום ממעלה יש בדיוק שורשים מעל המרוכבים. נוסחאות וייטה לפולינום ממעלה : a x x2 x xi a 2 i i x x x x ( ) i a a 0 יהי המשפט על הניחוש האינטליגנטי של שורש רציונאלי: פולינום שכל מקדמיו מספרים שלמים p( x) a x a x a x a p( x) 0 x 0 p q ונניח: הוא שורש רציונאלי של (כש- p ו- q זרים).. a אזי: p מחלק את a 0 ו- q מחלק את p q דרך הפיתרון: מרכיבים קבוצה של לקבוצה הזו. ואם יש שורש רציונאלי לפולינום, הוא בהכרח שייך p( x) שורש עם ריבוי: x 0 הוא ריבוי k של אם: p( x ) 0, p '( x ) 0,, p ( x ) 0, p ( x ) 0 כלומר, k התאפסויות. ( k ) k 0 0 0 0 הערה: בהינתן,p(x) אם מציבים α ב( p(x ומקבלים 0 אז α הוא שורש. אם לא מקבלים 0 אלא מספר, אז מספר זה הוא השארית כאשר מחלקים את p(x) ב.x α 3
א( א( אלגברה א (0467) חורף תש"ע 2.i מספרים מרוכבים "נוסיף" לשדה המספרים הממשיים מספר נוסף שיסומן ב i והוא מקיים Z a b 2 2. a, b מספר מרוכב:, Z a ib ערך מוחלט: מרחק המספר המרוכב מראשית הצירים ארגומנט: הזווית בין החלק החיובי של הציר הממשי לבין הקטע המחבר את Z לראשית. Z a bi Z a bi מספר צמוד: : Z פעולות חשבון בין מרוכבים: Z a bi Z a b i 2 2 2 Z Z ( a a ) i( b b ) 2 2 2 Z * Z ( a a bb ) i( a b a b ) 2 2 2 2 2 Z Z * Z Z 2 2 2 Z2,Z Z2 (כפל בצמוד) 0 תכונות של מספרים מרוכבים: Z Z (לכל טבעי).8 הוא שדה Z Z Z Z "ש המשולש) 2 2.9 Z Z2 Z Z2 Z Z Z Z "ש המשולש) 2 2 0 Z * Z Z * Z 2 2 Z * Z Z * Z 2 2 Z Z 2 Re( Z).4 ( Z2 0) Z Z ( ) Z Z 2 2 Z Z Z Z 2 2 2 3 Z Z 2i Im( Z) (לכל טבעי) Z * Z Z Z Z 2.5.6.7 4
Z r cis 2 2 2 אלגברה א (0467) חורף תש"ע הצגה טריגונומטרית של מספר מרוכב: Z a ib Z r(cos i si ) 0 הצגה אלגברית: הצגה טריגונומטרית: r Z a b 2 2 b arca 0 ואז מתאימים את a רביע ראשון: רביע שני: לזווית הנכונה לפי הרביע המתאים: Z rcis Z * Z r * r [ cis( )] 2 2 2 80 360 0 0 0 80 רביע שלישי: 0 כפל, חילוק וחזקות: רביע רביעי: r 2 המשמעות הגיאומטרית של כפל: מאריכים/מכווצים את אורך ווקטור Z פי ומסובבים אותו בעוד 2 מעלות נגד כיוון השעון. Z Z r [ cis ( 2)] r 2 2 Z r [ cis( * )] Z r[cos( 360 k) i si( 360 k)] הוצאת שורשים: Z 360k r[ cis( )] k 0,,..., קשר לפולינומים: Z אם יש לפולינום עם מקדמים ממשיים שורש לא ממשי Z אז גם- שורש שלו. ולכן, אם לפולינום מספר אי-זוגי של שורשים, אחד מהם לפחות הוא ממשי. למשוואה עם מספר מרוכב והצמוד שלו אין בהכרח שורשים כי Z ו- Z הם שני משתנים שונים. אם מתבקשים למצוא את סכום כל השורשים של מספר מרוכב נתון: אז זה כמו לסכם את כל השורשים (במרוכבים בלבד) של a ib Z,...,, Z2 Z a. כלומר, סכום השורשים של a. Z 0* Z a ib 0. כלומר: הפולינום: Z a ib סכום שורשי הפולינום ע"פ וייטה הוא: 0 מספר מרוכב הוא תמיד אפס. 5
שורשים של שורש יחידה: שורשים מסדר של- 360k 360k cos( ) i si( ) k 0,,2,...,. 2, w, w, w,..., 2 3 לכן שורשי היחידה מסדר הם: w סדרת השורשים מהווה סדרה הנדסית כאשר. q w סכום שורשי היחידה מסדר- הוא אפס עבור S ( q ) ( w ) a * * q w סכום סדרת השורשים ע"פ נוסחת סכום סדרה הנדסית הוא: *בחישוב הסכום, האינדקס הרץ הוא- כי יש איברים בסדרה (- - 0)., כלומר, המונה מתאפס והסכום w w ולכן: w הינו אחד מהשורשים של יוצא אפס. (באופן כללי, סכום השורשים יהיה אפס עבור הוצאת שורש מכל מספר מרוכב). 6
מטריצות הגדרה: מטריצה מעל שדה F היא טבלה של איברים של F. מטריצה מוחלפת :(raspose) תהי m מטריצה כלשהי. היא מטריצה המתקבלת מ. m ( a ) j i ע"י הפיכת שורותיה לעמודות, תוך הקפדה על אותו סדר. שלושה כללים תקפים: ( ) ( B) ( B ) ; ( B) B (k סקלר). ( k) k ( a ) B B ( b ) m i j ks i j B m k, s, a b i, j i j שוויון מטריצות: נתונות שתי מטריצות,B מעל אותו שדה F. i j. מונחי מטריצות:. מטריצה ריבועית: בעלת מספר שווה של שורות ועמודות, כלומר מסדר. a כלומר, סימטרית ביחס לאלכסונה i j a ji 2. מטריצה סימטרית: מטריצה ריבועית שבה. הראשי. היא מקיימת.. a i j a ji מטריצה אנטי-סימטרית: מטריצה ריבועית שבה היא מקיימת a ii a ii נובע מכך שבשדות רגילים 0 (אברי האלכסון הראשי). פרט לשדות לכן, מודולו Z, איברי האלכסון הראשי שווים לאפס. מטריצה אלכסונית: מתקיים לכל מטריצה ריבועית שכל איבריה מחוץ לאלכסון הראשי הם אפסים.. i j ai j 0.4 I מטריצה סקלרית: מטריצה אלכסונית שכל איברי אלכסונה שווים זה לזה. מטריצת יחידה: מטריצה סקלרית שכל איברי אלכסונה הם-. מסמנים ב כשהיא מסדר.5.6 i j 0 i j i j. סימון איבר: כל מטריצה סקלרית היא כפולה בסקלר של מטריצת היחידה. מטריצת אפס: מטריצה שכל איבריה הם איבר האפס. 0 0 m לכל משולשת עליונה/תחתונה: מטריצה ריבועית שכל איבריה מתחת/מעל לאלכסונה הראשי j / לכל -עליונה i j i -תחתונה. ai j o הם אפסים, כלומר 0 וקטור שורה/עמודה: מטריצה בעלת שורה/עמודה אחת..7.8.9 7
כפל בסקלר: ( a ) m i j F מטריצה מעל * ( a i j ) יהא F אז: ( ) ( ) ( B) B ( B) B ( ) ( ) B ( a b ).7.8.9 0 חיבור וחיסור: מוגדרים רק עבור מטריצות מאותו שדה ומאותו סדר. i j i j ( a ) B B ( b ) m i j ks i j (תכונות חיבור, חיסור וכפל בסקלר) B B ( B C) ( B) C 0 ( ) 0 ( B) B ( ).4.5.6,B כפל מטריצות: ו- B שתי מטריצות מעל שדה הכפל כפל ביניהן מוגדר רק עבור עם מספר עמודות * B B C ( c ) m r mr i j.( 0 I (בעיקר בגלל ש XY YX כמספר השורות של B: הערות: באופן כללי B B (ההגדרה אינה סימטרית). 2 3, מוגדרים רק עבור מטריצות ריבועיות. נגדיר: נוסחאות כפל מקוצר לא מתקיימות במטריצות. B 0 ו- B 0 ( B) C ( BC) ייתכן, 0.4 (עבור מטריצות) אסוציאטיביות ( B C) פילוג D BD CD *0 0* 0 * I I * (מטריצת היחידה מתחלפת בכפל עם כל מטריצה). ( B) B *.4.5 8
race( ) r( ) a ii i עקבת המטריצה: סכום אברי האלכסון הראשי: r( B) r( ) r( B) r( B) r( B ) r( B) r( B) r( ) r( ) פעולות יסודיות (אלמנטריות) על שורות של מטריצה: כל אחת מהפעולות הבאות נקראת פעולה יסודית על שורות של מטריצה. כפל שורה בסקלר (שונה מאפס): Ri Ri 2. החלפת שתי שורות זו בזו: Ri Rj 3. הוספת כפולה של שורה לשורה אחרת: Ri Ri Rj הגדרה: שתי מטריצות ו- B נקראות שקולות שורה אם ניתן להגיע מאחת לאחרת ע"י סדרה סופית של פעולות יסודיות על שורות. (לכל פעולה יסודית על שורה, יש פעולה יסודית על שורה שמבטלת אותה). הערה: יש גם פעולות יסודיות על עמודות (בדיוק באותו האופן) אבן הן פחות שימושיות. מטריצות מדורגות: הגדרה: מטריצה נקראת מדורגת אם: שורות האפסים מופיעות לאחר השורות שאינן אפס מספר האפסים משמאל לאיבר המוביל גדל משורה לשורה עד שמגיעים (אם בכלל) לשורת אפסים. (האיבר הראשון השונה מאפס משמאל בכל שורה של מטריצה נקרא האביר המוביל של השורה) מדורגת מצומצמת: מטריצה קאנונית (C) שעונה לתנאים הבאים: מטריצה מדורגת כל איבר מוביל שווה ל- איבר מוביל הוא היחיד השונה מאפס בעמודה שלו. דרגה: מספר השורות השונות מאפס בצורה מדורגת של מטריצה נקרא הדרגה של המטריצה. סימון: (. )r (כלומר, מספר השורות הב.ת.ל המקסימאלי). 9
כל מטריצה שקולה שורות למטריצה מדורגת מצומצמת, אחת ויחידה. C C הערה: מטריצה שקולה שורות למטריצה B אם ורק אם B (הצורות הקנוניות שלהן C אז ו- B בהכרח לא שקולות שורה. C שוות) ואם B מטריצות יסודיות (אלמנטריות): מטריצה יסודית: מטריצת יחידה לאחר שעברה פעולה יסודית אחת על שורות או עמודות. שתי פעולות שקולות: במטריצה אחרת ולקבל את התוצאה המבוקשת. תהא במקום לעשות פעולות על שורות של מטריצה, ניתן להכפיל אותה מטריצה, פעולה יסודית על שורות ו פעולה יסודית על עמודות. אז: ( I )* ( ) * ( I) הערה- : כדי לעשות פעולות על מטריצה ניתן להכפיל אותה פעמים במטריצה אלמנטרית שבוצעה עליה הפעולה נדרשת. הערה- 2 : שתי מטריצות ו- B הן שקולות שורה אם ורק אם קיימות מטריצות יסודיות E,..., Ek כך ש: 2 k E * E * * E * B (לא צריך סוגריים בגלל תכונת האסוציאטיביות, סדר ההכפלה של המטריצות לא משנה כל-עוד לא משנים את סדר הכתיבה). 0
מרחבים וקטורים הגדרה: קבוצה V נקראת מרחב וקטורי מעל שדה F, אם קיימות: פעולה + (חיבור) בין איברי V פעולה * (כפל) בין אברי F לאברי V v, u V v u V כך שמתקיימות התכונות הבאות:. סגירות בחיבור: אסוציאטיביות בחיבור: w) v, u, wv ( v u) w v ( u אדיש חיבורי: v V v 0 v.4 קיום נגדי: v V v ( v) 0 v,.5 קומוטטיביות בחיבור: u V v u u v F,.6 סגירות בכפל בסקלר: v V vv F, u, v V ( u v) u v, F, v V ( ) v v v פילוג( ): פילוג( 2 ):.7.8 אסוציאטיביות: v), F, v V ( ) v ( קיום איבר יחידה: v V * v v.9 0 דוגמאות למרחבים וקטוריים ידועים: m F F מעל m כל המטריצות אוסף כל הפונקציות מ- R ל- R מעל השדה R. כל הפולינומים עם מקדמים בשדה F כל הפולינומים ממעלה קטנה או שווה ל- עם מקדמים בשדה F. שדה הוא תמיד מ"ו מעל תת-קבוצה שלו. הם מ"ו רק מעל Z (כאשר קטן יותר, אין אלו תת קבוצות של ). Z Z איברים ב "טיפים" מתי יש לחשוד שקבוצה נתונה איננה מ"ו:. המילה או מרמזת על איחוד כשיש תנאי עם / 2 או עם אם התנאי מוגדר ע"י אי-שוויון. אם התנאי הוא של מערכת משוואות אי-הומוגנית (אם התנאי הוא של מערכת משוואות הומוגנית, קרוב לוודאי שזהו כן תמ"ו)..4
יהא V מ"ו מעל שדה F. אזי: 0 V, F *0 0 v V,0 V 0* v 0 v או 0 0 אז או:,v 0 כך ש- v V, F v V, F ( ) v ( v) ( v).4 תתי-מרחבים: הגדרה: V מ"ו מעל שדה F ו- W תת-קבוצה של V. אם גם W היא מ"ו ביחס לאותן פעולות של V, אזי: W נקראת תת מרחב של V. הערה- : בכל תת-קבוצה של V מתקיימות רוב תכונות המ"ו. כדי לבדוק אם W היא אכן תמ"ו של V יש צורך לבדוק רק מספר תכונות בלבד שלא מתקיימות עבור כל תת-קבוצה: הקבוצה לא ריקה (קיום אפס) סגירות לחיבור סגירות לכפל בסקלר (כדי לבדוק את שניהם ביחד ניתן לבדוק: (, F, w, w W w w W 2 2 אם 3 התכונות הנ"ל מתקיימות נובע מהן שגם התכונה "קיום נגדי" מתקיימת וזה מספיק כדי להוכיח שזהו אכן תמ"ו. 0 הערה- 2 : ו- V עצמו הם תמיד תת-מרחבים. דוגמאות לתתי-מרחבים ידועים: ב- או ב- F (F שדה) כשיש אפסים במקומות קבועים בניגוד להנ"ל כשאומרים שיש m F להם 0 ולא מדובר על מקום קבוע. f f ( x) f ( x) פונקציות זוגיות R המטריצות הסימטריות והאנטי-סימטריות ב- הערה : להוכחת מ"ו מספיק להראות שקבוצה מסוימת היא תת-קבוצה של מ"ו מפורסם ואז להוכיח רק את שלושת התנאים לקיום תמ"ו. יהיו U, W שני תתי-מרחבים של מ"ו V אז גם V. הוא תת-מרחב של U W הערה: איחוד שני תתי-מרחבים אינו תת-מרחב מלבד מקרים שבהם אחד התתי-מרחבים מוכל בשני או שאחד מהם הוא {0} (ואז הוא כמובן מוכל בשני). יהיו W או U הוא תת-מרחב אם"ם U W תת-מרחבים. אז U, W מ"ו ו- V U W (אם לא מתקיימת ההכלה- לא, אז- או V לא ת"מ או אחד מהם כן מתקיים). 2
. u w u U, ww U W נגדיר:.V תתי-מרחבים של מ"ו U, W (סכום): U+W כלומר, כל איבר בסכום ניתן להציג כחיבור של וקטור מU ווקטור מW. יהיו U, W תתי-מרחבים של מ"ו V, אז גם V. הוא תת-מרחב של U W סכום ישר: U, W הם תתי-מרחבים של מ"ו V. אם כל איבר בסכום W+U ניתן לרשום באופן יחיד (רק כחיבור של שני וקטורים מסוימים) אז הסכום הוא סכום ישר. סימון:. u w V מ"ו U, W הם תתי-מרחבים של V. אז: U W הוא סכום ישר אם ורק אם:. U W 0 v,, v w. v,,, v wv קומבינציה ליניארית: V מ"ו מעל. F נקרא ק"ל של אם. w v v,, כך ש: קיימים סקלרים F מרחב נפרש: מרחב נפרש: V מ"ו ו- תת-קבוצה של V עם מספר סופי של איברים. אוסף הצירופים הליניאריים של אברי נקרא המרחב הנפרש ע"י. סימון: יהא V מרחב וקטורי ו- תת-קבוצה סופית של V. אז. ( L( )) spa( ) ה"קטן" ביותר המכיל את (כל ת"מ אחר שיכיל את, יכיל גם את מרחב שורות ומרחב עמודות: הגדרה: spa( ) הוא תת-מרחב של V.( spa( ) מטריצה מרחב השורות של- מרחב העמודות של- m מעל. F הוא המרחב הנפרש ע"י שורות הוא המרחב הנפרש ע"י עמודות למטריצות שקולות שורה, אותו מרחב שורות. והוא תת-מרחב של. F והוא תת-מרחב של m. F, B מטריצות כך ש- B מוגדר. אז:. העמודות של B הן צירופים לינאריים של העמודות של. 2. השורות של B הן צירופים לינאריים של השורות של. B 3
מערכת של משוואות ליניאריות מערכת הומוגנית: מערכת. x 0 במערכת הומוגנית עם נעלמים, אוסף הפתרונות הוא תת-מרחב של. F הערה: במערכת הומוגנית מעל שדה אינסופי, או שיש פיתרון יחיד או שיש אינסוף פתרונות (אין מצב ביניים). r( ) אינסוף- כאשר כאשר x 0 ופתרון. r( ) תהא ויהא x b x x 0 פיתרון שלה מערכת משוואות אז: אוסף כל הפתרונות של המערכת הוא: {פיתרון של { x d x d x 0 (כלומר, חיבור של הפתרונות עם פתרונות המשוואה ההומוגנית המתאימה). הערה: למערכת משוואות 0 x b מעל שדה אינסופי יש: או- פתרון יחיד; או- אינסוף פתרונות; או- אף פיתרון. *. מטריצה מורחבת: מטריצה המייצגת נתונה מערכת x b x b עם נעלמים מעל שדה. (העמודה האחרונה היא איברי b). סימון:. r( ) למערכת יש פתרון אם ורק אם r * ( ) r( ) כאשר יש פתרון, מספר דרגות החופש לבחירה חופשית של נעלמים הוא:. * קיים פתרון יחיד אם ורק אם r( ) r( ) הערות חשובות: קבוצת הפתרונות של מערכת הומוגנית היא מ"ו עם ( )r דרגות חופש (קבוצת הפתרונות של האי-הומוגנית היא לא מ"ו). זהו גם מימד המרחב. למערכת x b יש פיתרון הליניארי הם רכיבי הפתרון b הוא צירוף ליניארי של עמודות. המקדמים בצירוף. (,,..., ) x x2 x - x xh פתרון פרטי כלשהו של לא הומוגנית + פתרון כללי של ההומוגנית = x P הפתרון הכללי של מערכת לא הומוגנית הפרש שני פתרונות של מערכת x b הוא פתרון של ההומוגנית המתאימה (וגם כפל שלו בסקלר יתן פתרונות נוספים כי זהו מ"ו). ופתרונות למערכת x b של פיתרון הומוגנית כללי (כפל בסקלר כלשהו) עם אחד הפתרונות הקיימים.. xp xp2 xh xh xp xp3 יתקבל מחיבור 4
מטריצות הפיכות B הגדרה: מטריצה ריבועית נקראת הפיכה אם קיימת מטריצה כך ש-. B B I סימון:. B משפטי הפיכות: תהא מטריצה הפיכה, אז קיימת B יחידה כך ש-. B I אם ו- B ריבועיות כך ש- B I אז הפיכה ו- B ההפכית שלה. (בנוסף:.( B I B I אם הפיכה ו- B ההפכית שלה אז הפיכה, B. B B אם, ריבועיות, אז B הפיכה אם"ם הפיכה וגם- B הפיכה. B הפיכה אז הפיכה ו-. הערה: סכום מטריצות הפיכות אינו מטריצה הפיכה בהכרח. משפט השקולים החלקי: תהא מטריצה ריבועית מסדר. אז התנאים הבאים שקולים: הפיכה. r שקולה שורות ל-. I x.4 למערכת b יש פיתרון יחיד לכל 5. למערכת x 0 יש פיתרון יחיד.. b.6.7 היא מכפלה של מטריצות אלמנטאריות. מאפסת פולינום עם מקדם חופשי שונה מאפס. I תהא מטריצה הפיכה, אז אותן פעולות שמעבירות את ל-, I מעבירות את ל-. הערה: כל מטריצה אלמנטארית היא הפיכה, וגם ההפכית שלה היא אלמנטארית. P PB, B שקולות שורה אם"ם עבור איזשהי מטריצה הפיכה (כלומר P היא מכפלת מטריצות אלמנטאריות, ומכפלה של הפיכות הינה הפיכה). 5
תלות ליניארית, תלות: V מ"ו מעל כולם אפס כך ש: תלויה ליניארית. משפטי תלות: בסיס ומימד,,, לא, נקראים תלויים ליניארית אם קיימים סקלרים v v. F. v 2v2 _ v אם בהכרח כל הסקלרים הם אפס, הקבוצה בלתי 0 כל קבוצה שמכילה אפס היא ת"ל. קבוצה המכילה קבוצה ת"ל, גם היא ת"ל. קבוצה המוכלת בקבוצה בת"ל גם היא בת"ל. קבוצה היא ת"ל אם"ם אחד מאיבריה הוא צירוף ליניארי של האחרים. בקבוצה תלויה ליניארית יש לפחות איבר אחד שהוא צירוף ליניארי של קודמיו. שני איברים הם תלויים אם"ם הם פרופורציונאליים, כלומר אחד מהם הוא כפולה בסקלר של האחר. שורות שונות מאפס של מטריצה מדורגת הן בת"ל. כל קבוצה של פולינומים שמעלותיהם שונות זו מזו, בהכרח בלתי תלויה (הדרך היחידה לאפס את המקדמים היא ע"י הכפלה בסקלר-אפס, ולכן כל הסקלרים הם אפס). בסיס: קבוצה פורשת ובת"ל. מרחב ממימד סופי: מרחב שיש לו בסיס עם מספר סופי של איברים. משפט ההחלפה: יהא V מ"ו, אז מספר האיברים בכל קבוצה פורשת גדול או שווה ממספר האיברים בכל קבוצה בת"ל. V מ"ו ממימד סופי, אז בכל הבסיסים של V יש אותו מספר איברים. V מ"ו ממימד סופי, B קבוצה ב- V. התנאים הבאים שקולים: B בסיס. B קבוצה בת"ל מקסימאלית (כל קבוצה שמכילה אותה ממש היא ת"ל). 2. B קבוצה פורשת מינימאלית (כל תת-קבוצה ממש אינה פורשת). 3. מימד: מספר האיברים בבסיס של מ"ו ממימד סופי. יהא V מ"ו ממימד-. אזי:. כל איברים ב- V הם ת"ל. 2. כל קבוצה בת"ל בת איברים היא בסיס. 3. כל קבוצה פורשת בת איברים היא בסיס. 4. כל קבוצה בת"ל ניתנת להשלמה לבסיס. 6
B ניתן לרשום כצירוף ליניארי של איברי V אז כל איבר ב- V, U, W הם תתי-מרחבים של V. אזי: יהא B באופן יחיד. משפט המימדים: בסיס של מ"ו V מ"ו. U W U W U W. dim dim dim dim. U W U W מסקנה: dim dim dim r. r r. r B. r דרגת מטריצה: הערה: מימד מרחב השורות של מטריצה הוא משפטים: r B ו- r B r B ואם B הפיכה אז: r B r B r 2. אם הפיכה אז: 3. מימד מרחב השורות של מטריצה שווה למימד מרחב העמודות, כלומר: ניסוח נוסף: מספר השורות בת"ל של מטריצה שווה למספר העמודות בת"ל שלה. 7
T : V נקראת V 2 T v V T v ker 0 dimker T T T v, T V2,, T vk T היא ט"ל. x 0. ker T :T אלגברה א (0467) חורף תש"ע טרנספורמציות הגדרה: נתונים שני מ"ו ליניאריות V, V2 מעל אותו שדה-. F הפונקציה טרנספורמציה ליניארית אם מתקיימים שני התנאים: T הוא: v, u V, T v u T v T u F, v V, T v T v T : V ט"ל. הגרעין של. Im T T v v V אפסיות של V.V.V 2 V 2 T מסקנות: 0 0 T v T v T היא: T : V ט"ל אזי: גרעין ותמונה: V 2 - - התמונה של הוא תת-מרחב של הוא תת-מרחב של. Im T V2 T. ker 0 ker T Im T "על" אם"ם חח"ע אם"ם T T.4 פורשים את v, v2 פורשים את, vk ט"ל. אם T : V V2 אזי: V T T. dim dim ker dim Im אז. T v v ע"י: T : F F m T : V ט"ל. אז:. r T. m נגדיר V 2. Im T משפט המימדים: סימון:. dimimt דרגה: הערות: - התמונה של מטריצה מסדר. היא מרחב העמודות של T m r T. r - מסקנה: תהא הוא: מטריצה מדרגה-, r אז מימד מרחב הפתרונות של המערכת v ע"י: T : F F. r m הסבר: נגדיר-. T v אז מרחב הפתרונות של x 0 הוא rt. dim F dim kert dim ImT dim kert r r 8
B v, v2,, v יהיו V, W מ"ו מעל שדה. F יהא w, w2 בסיס ל-.V ו-,, w T T : V איברים כלשהם ב- W. נגדיר: W כך ש- אז היא הט"ל היחידה שמקיימת: T v v v w w w 2 2 2 2 2. T v w, T v2 w2,, T v w. Hom V, U T S, T Hom V, U כך: מרחבים של טרנספורמציות ליניאריות: הגדרה: V, U מ"ו מעל אותו שדה. אוסף כל הט"ל מ- V ל- U יסומן:. 0 : V U, v V 0 v 0. I : V V, v V I v v V,, S, T Hom נגדיר: U טרנספורמציית האפס: טרנספורמציית הזהות: הגדרת חיבור וכפל בסקלר: T S v T v S v F T v T v V, U מ"ו מעל - - אז:,V Hom הוא מ"ו ביחס לפעולות שהגדרנו. ומתקיים: U S : V U, T : U W TS היא תמיד ט"ל. V, U, W מ"ו מעל אותו שדה.. אז HomV U V U. dim, dim dim TS v T S v כפל טרנספורמציות ליניאריות: TS : V ט"ל. נגדיר: W הערות: ע"י: ker Im 2 T ker T 2 T ImT 2 T 0 Im T ker T הפיכה: ט"ל הינה הפיכה אם היא חח"ע ועל, ואז קיימת לה טרנספורמציה הופכית. נקראת גם: T : V V T : V רגולרית או לא סינגולארית. נתונה ט"ל V חח"ע ועל. אזי היא הפיכה וגם: היא ט"ל. T היא על. (זה נכון רק אם זה על אותו מרחב!) V U חח"ע T T : V V - - - ט"ל. אז איזומורפיזם: ט"ל חח"ע ועל. מרחבים איזומורפיים: שני מ"ו שקיים ביניהם איזומורפיזם. סימון: V, W מ"ו מעל אותו שדה. אזי הם איזומורפיים אם"ם יש להם אותו מימד. 9
ייצוג טרנספורמציות ליניאריות ע"י מטריצות מוטיבציה: מציאת בסיס שייתן מטריצה אלכסונית, כי היא תאפשר חישובים קלים יותר כמו: f f, f2,, fm מציאת הדרגה והעלאה בחזקה.. T : V ונתון: נתונה ט.ל W,V בסיס ל- e e, e2,, e בסיס ל- T e a f a m fm a a m T e a a f am f m a m W. נסתכל על המטריצה: המטריצה המתקבלת (לאחר טראנספוז על מטריצת המקדמים) הינה המטריצה המייצגת של T f e e,. סימון: ביחס לבסיסים: f (מה שלמעלה הינו הבסיס אליו עברנו, מתאים למקדמים)., v V מ"ו, V T וקטור קואורדינאטות: B b, b2 בסיס.,, b. B בבסיס v הם וקטור הקואורדינאטות של, 2,, אז:. v b b b 2 2. B. 0, v אז:. v אז: v B 2 סימון: תהא מסקנה: תהיינה מטריצה כך ש- 0 v לכל לכל W. אז לכל מטריצות ונתון ש- v Bv f,v, B e, T : V W בסיס של בסיס של v V מתקיים: f, כלומר: כפל במטריצה המייצגת שקול לטרנספורמציה. T v T v e, dim V f T S T S f f f e e e T v T v ( Hom אז: B B B (אותו f T T e f - r T r T S : V f e W f e e 3. אם 4. סקלר, אז: f - רשימת הערה: T v הגדרה:.V בסיס ל- e, T : V V T v לפי המקדמים של איברי בסיס. T כאשר: Hom V, U e T e e m F אז:. F. dim Hom V, U V, U מ"ו מעל שדה m בפרט:. dim U m 20
T, S e, f, g F אלגברה א (0467) חורף תש"ע V, U, W מ"ו מעל שדה ו- בסיסים בהתאמה. ט"ל: TS T S g g f e f e, אז מתקיים: S T V U W. T e T e T e e, T : V מסקנה: V בסיס ל- V, הפיכה אם"ם הפיכה, אז: שינוי בסיסים: e היא מטריצת המעבר מ-, P I e f e, f מטריצת מעבר: V מ"ו, שני בסיסים. מטריצה ל- - f (למרות שבפועל המעבר היה הפוך- כתיבת איברי f עם ק"ל של- ). e ומתקיים גם: (ההופכית הינה מטריצת המעבר לכיוון השני).. T P T P f e, B P v f v P v v אז: f T : V e e V מטריצות דומות: שתי מטריצות הפיכה כך ש: ריבועיות מאותו סדר, תקראנה דומות אם יש מטריצה P BP T : V V P הערה: עבור ט"ל, כל המטריצות המייצגות שלה בבסיסים שונים, הן דומות. T. אם"ם הן מייצגות את אותה העתקה-, B למטריצות דומות יש אותה דרגה. למטריצות דומות יש אותה עקבה ).(race 2
., de סימון:. דטרמיננטים דטרמיננטה: מספר שמתקבל ממטריצה ריבועית מינור: הדטרמיננטה של המטריצה המתקבל מ- ע"י מחיקת השורה ה- i והעמודה ה-. j סימון:. Mij am a2 M2 a3m 3 a M הגדרה: הערה: סימן המינור נקבע לפי מיקום האיבר המקדם שלפיו מחוקים שורה ועמודה.. מכאן שכל משפט על שורות של דטרמיננטה הוא נכון גם אזי:, לעמודות. ניתן לפתח דטרמיננטה לפי כל שורה (לפי כל עמודה), למשל פיתוח לפי שורה :i 2 i i i a a M M i i2 i2 i הערה: כדאי לפתח לפי שורה/עמודה המכילה יותר אפסים. כללים לפיתוח דטרמיננטה:. דטרמיננטה בעלת שורות (עמודות) אפסים שווה לאפס. 2. דטרמיננטה של מטריצה משולשית שווה למכפלת איברי האלכסון הראשי. 3. אם יש שתי שורות (עמודות) פרופורציונאליות (או שוות), הדטרמיננטה שווה לאפס. פעולות אלמנטאריות על דטרמיננטים:. אם מחליפים שתי שורות (עמודות) שונות זו בזו, סימן הדטרמיננטה מתחלף. ניתן להוציא גורם משותף משורה (עמודה) בדטרמיננטה. 3. אם מוסיפים לשורה (עמודה) כפולה של שורה (עמודה) אחרת, הדטרמיננטה אינה משתנה. הדטרמיננטה של שווה לאפס אם"ם השורות (העמודות) שלה תלויות ליניארית. adj דטרמיננטים ומטריצות הפיכות:. נגדיר מטריצה ששמה: מאותו סדר של-. מטריצה ריבועית :adjoi,i במקום ה- j שלה מופיע המינור המתאים: i j M ij הערה: זוהי למעשה הטראנספוז של כתיבת כל מינור במקום שלפיו פיתחנו אותו. עבור כל מטריצה adj I מתקיים: ואם הפיכה אז נחלק ב- adj ונקבל: 0 22
adj r adj הפיכה אז הפיכה ואם אז אם r adj r adj 0 אז אז r r 2. אם 3. אם תכונות נוספות: adj adj adj 2 adj adj 2 adj adj - - - -. נסמן:. 0 דטרמיננטים ומערכות משוואות: x הכלל של קרמר: נתונה מערכת b ריבועית כאשר ידוע ש: ב-. נסמן ב: i דטרמיננטה של המטריצה המתקבלת ע"י החלפת העמודה ה- - i בעמודה ה- b x i i אז מתקיים: כלומר, כך ניתן לקבל פתרונות למערכת. B B דטרמיננטה של מכפלת מטריצות:, B מטריצות ריבועיות מגודל. אז: מסקנה: אם 0 אז: טריקים לחישוב דטרמיננטים: - סכום כל עמודה שווה: מחברים את כל המודות לעמודה הראשונה ואז מחסרים מכל השורות את הראשונה לקבלת עמודה עם מקסימום אפסים: 7 0 0 7 0 0 7 0 0 R2 R2 R C C C2 C3 R3 R3 R 7 7 7 0 7 5 4 8 7 4 8 0 6 8 - מטריצה משני איברים: באלכסון ומחוצה לו: 23
ערכים עצמיים, וקטורים וערכים עצמיים: טרנספורמציה לכסינה: המייצגת לפי בסיס וקטורים עצמיים ולכסון T : V V נקראת לכסינה אם יש בסיס B ל- V כך שהמטריצה T B B היא אלכסונית. מטריצה לכסינה: מטריצה ריבועית, שקיימת P הפיכה כך ש- P P אלכסונית., הערה: B דומה לאלכסונית. וקטור עצמי: דומות אם קיימת P הפיכה כך ש-. P P B ולכן להיות לכסין פירושו: להיות. T v v כך ש- F נקרא ו"ע אם קיים v 0, T : V V ערך עצמי: הנ"ל נקרא ערך עצמי השייך לו"ע הגדרה למטריצות: קיים הערה: כל. v מטריצה ריבועית מעל שדה, F. ו- כך ש- v v T : V V נקרא הע"ע שייך ל-. v 0 v נקרא ו"ע של אם F היא לכסינה אם"ם קיים ל- V בסיס שמורכב כולו מו"ע של.T v שווה ל- T v שמטריצת המקדמים תצא אלכסונית. כפול סקלר כלשהו, ושאר האיברים בק"ל מוכפלים באפס כדי לכסינה אם"ם יש לה וקטורים עצמיים בת"ל. למטריצות דומות אותה דטרמיננטה (ועבור פולינום אופייני: T נסמן ב-.( T T. נקרא הפולינום האופייני של- I T הגדרה: הערה: עבור מסדר הפ"א הוא ממעלה-. תהא T : V V ט.ל אזי:. הערכים העצמיים של T הם השורשים של הפולינום האופייני.. ker I T 2. הווקטורים העצמיים של ערך עצמי- הם האיברים השונים מאפס ב- 3. אוסף הוקטורים העצמיים השייכים לערך עצמי בתוספת האפס הוא תת-מרחב של. ומימדו שווה לריבוי הגיאומטרי של- ונקרא גם- המרחב העצמי של V סימון: מטריצה לכסינה מסדר. יהיו v,,v2, v ו"ע בת"ל. נסמן ב- 0 2 0 P P אז: P v, v2,, v 0 0 לע"ע שונים יש ו"ע בת"ל. מסקנה:.V T : V V ט.ל, T אם לפולינום האופייני של, dim V יש לכסינה. T שורשים שונים אזי הערה: המשפט ההפוך אינו נכון! ייתכן שהיא לכסינה למרות שיש פחות מ- שורשים שונים. 24
ריבוי גיאומטרי ואלגברי: למטריצות דומות יש אותו פ"א, ולכן גם אותם ע"ע. ריבוי אלגברי של ע"ע: הריבוי שלו בפולינום האופייני. ריבוי גיאומטרי של ערך עצמי: מספר הו"ע בת"ל שיש לו.,T T : V V ט.ל, ע"ע של אזי הר"ג של קטן או שווה ל-ר"א. T לכסינה אם"ם עבור כל ע"ע, הר"א שווה לר"ג. R. G R. מסקנה- : מסקנה- 2 : מטריצה מסדר בעלת ע"ע שונים, אז לכסינה (ההפך לא נכון). ע"ע בשדה, אז T הפיכה אם"ם אפס אינו ע"ע שלה. ל- B ול- B תהא יש אותם ערכים עצמיים. מטריצה מסדר מעל שדה-. F נניח שיש ל- דומה. 2 0 0 למטריצה משולשת. מסקנה:. סכום הע"ע של מטריצה שווה לעקבה. כאשר הם ה-ע"ע של, 2,, 2. מכפלת הע"ע של מטריצה שווה לדטרמיננטה. אותם ע"ע. ל- ול- 2. אם סכום האיברים בכל שורה של מטריצה הוא קבוע- k. אז k הוא ע"ע ששייך לו"ע 3. אם סכום האיברים בכל עמודה של מטריצה הוא קבוע k אז k הוא ע"ע. הצבת מטריצות וט.ל לפולינום: F מ"ו מעל V T : V הגדרה: V פולינום: ט.ל, ו- מטריצה ריבועית. 2 f T aoi at a2t at 2 f aoi a a2 a. f הוא הפולינום האופייני של מטריצה, אז 0.( dim V ) I, T, T,, 2. f x a a x a x נגדיר: a x 2 T 0 2 f משפט קיילי-המילטון: אם x הערה: כל k T בחזקה טבעית הוא ק"ל של: 25
משפטים נוספים:,,, מטריצה מסדר ע"ע לאו דווקא שונים. אז מתקיים: (מגיע מנוסחאות וייטה)., r a a j j 0 j j a a- 0 האיבר החופשי ו- כאשר המקדם של בפולינום האופייני. P P 2 0 0 0 0 חזקות של מטריצות לכסינות: לכסינה אז: ומתקיים: marix scalar.( v v ) עם ו"ע v פולינום כלשהו ממעלה k כלשהי. אז: p v p v k 0 k k 2 0 P P 0 k 0 תכונות חשובות: מטריצה, ע"ע של 0 k p x a a x k ו- הוא ע"ע של המטריצה- עם אותו ו"ע. כלומר: p p 2. אם הפיכה ו- ע"ע של אז: אם- ע"ע מרוכב ו- v ו"ע של הוא ע"ע של עם אותו ו"ע.. ו"ע מתאים של- v הינו ע"ע ו- ממשית אז גם ו"ע מתאים של-. v הינו ע"ע ו- אז, אם ע"ע ו- v ו"ע מתאים של.4 26